我的印像是，萊布尼茨通常提供幾種替代方法，並且不一致。 （不足為奇，因為大多數論文都是他的筆記，寫在“桌子上”，不是他打算出版的。）使用數量為零的右限的概念。因此，它很小，但絕不會為空。

Leibnitz在發表的一篇簡短論文中，關於無窮小是什麼，以相似（但並不總是完全相同）的方式構造它們。鑑於他發表了這一觀點，也許這可以被視為他的“官方”觀點。 （但是他在整個工作過程中對它們的處理不一致。）

基本上，他在笛卡爾坐標系中構造了一個直角三角形，並將其與測地線在兩個位置相交。他連續將測地線移向三角形的頂點，因此創建了另一個三角形，其邊長變短並收斂到零（如果測地線接觸頂點）。但是他定義了一個分數，其中數字是如此構造的三角形邊的長度。

在這種情況下：如果系統要保持一致，則分母不能為零，因此測地線的運動受到限制，因為它無法接觸頂點。他說，通過這種運動可以構造的東西都是無限的。

他將每個無窮小定義為通過這種運動構造的分數。隨著測地線的臨近，分母和分子都變小，但永遠不會為零。而且，由於大地測量線與三角形的各邊相交的角度通常不相同，因此構造的三角形的邊不相等，除非在特殊情況下構造相等。

顯然，並非所有無窮小都相同。因此，就他的出版作品而言，對他來說微不足道的是指總是減少的任何數量，就像欣欽在其1950年的微積分教科書中提出的那樣。就萊布尼茨而言，要成為一個無窮小，就必須通過另一種功能的一系列變化以某種方式來構建，但它本身並沒有說明任何數量。 （辛金點頭表示贊同。）

但是，在他對數量進行質量建模的討論中，通過連續性，無窮小是任意小的數量，最終變為零，此時，一種質量轉化為另一種質量。

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我建議將他關於無窮小本體的觀點與瓦利斯的觀點（從右手邊可變數量的極限，從零開始，為零）沒有實質性不同，並且是基於右派的。隨著輸入的增加而減少的功能的極限值。只是他在所有論文中都不一致。

編輯：

我正在翻閱我的一個檔案，試圖找到我對沃利斯《算術無限》重要段落的翻譯。 。從記憶中，瓦利斯在一個地方寫了

$ \ underset {x \ rightarrow 0 +} {\ lim} x $

相當於他在現代中所指的無窮小。符號。這是他圖中的線條粗細。總結填充這些圖形所需的無窮大線條，得出了圖形的面積。但是，根據Beeley的說法，在他後來與Leibniz的通訊中，他寫道，這些線條（實際上是線條）的厚度實際上為零。萊布尼茲不同意。萊布尼茲用現代符號表示的想法更接近瓦利斯的第一個陳述，更確切地說是上述概念。 $ x $輸入到函數的位置（無窮小），例如$ dx = \ frac {f（x）} {g（x）} \ rightarrow 0 + $，其中$ x \ rightarrow 0 + $。

無窮小數的主流解釋是在“非標準分析”的框架內。它給出了完全嚴格的理由。

我還沒有讀過《石黑郎》，所以我只想從其他幾個二手資料中獲得對歷史的印象：

布爾，《微積分的歷史及其概念發展》， https://archive.org/details/TheHistoryOfTheCalculusAndItsConceptualDevelopment

Blaszczyk，Katz和Sherry，《分析和揭穿歷史的十大誤解》， http：// arxiv。 org / abs / 1202.4153

博耶的相關部分是第210-212頁。在博耶的帳戶中，萊布尼茲是一個抖動者，他不確定如何解釋自己的dx。有時，他以某種使它們聽起來像現代微分形式的方式來解釋它們，但是種種困難總是使他重新回到將它們視為無窮小的話題。自從博耶在美國國家安全局（NSA）之前寫作以來，我不確定我對博耶的解釋有多信任，而他對微積分歷史的描述是一個故事，在其中，善良，誠實的限制驅逐了邪惡的，無窮的小數。

布拉茲奇克的誤解（實際上是問題）＃10是“萊布尼茲和羅賓遜之間是否存在連續性？”在我看來，這似乎朝相反的方向搖擺得太遠了，這使萊布尼茲顯得過於有先見之明。但是，他們的確對萊布尼茲和國家安全局之間的相似之處提出了一些非常有趣的觀點。

我的整體觀點是，萊布尼茲對無窮小的態度和理解可能類似於歐幾里得與平行假設的關係。 。這可能是一種令人不安的關係，而且直到幾個世紀後才能做出明確的澄清。