題:
“ $ S $-單位”和本地化$ S ^ {-1} R $中的字母S來自何處？
Watson
2018-06-30 00:04:23 UTC
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在數論中，我們可能會遇到 $ S $ -unit，$ S $ -integer等概念，其中$ S $是素數的有限集合（為簡單起見）。例如，如果$ S = \ {2,3 \} $，則$ S $整數是$ \ Bbb Z [1/6] $的元素。我想知道是否有一個特殊的原因來說明為什麼選擇字母$ S $來系統地表示一組有限的素數。如果它來自德語單詞（如許多數論單詞），我不會感到驚訝。

我首先想到$ S $整數與一個$ \ Bbb Z $的本地化-如上例所示。通常，當$ R $是交換環，而$ S \ subset R $用S $中的$ 1 \乘以閉合時（例如$ S $是$ 6 $的冪集），我們可以構造一個新的環S ^ {-1} R $。我的第二個問題是：為什麼我們選擇$ S $作為字母？是僅用於“ s ubset”，還是因為$ S $是$ R $之後的下一個字母？

我不知道在哪裡/何時/誰首次引入了這些兩個概念，一個是$ S $整數，另一個是本地化。我不確定這兩者在歷史上是否相關，至少在選擇字母$ S $時是不確定的。我將不勝感激。

非常感謝！

首先，在示例中，應在$ S $中包括$ \ infty $：在數字字段中，$ S $-整數是$ S $以外所有位置的整數。無論如何，我認為$ S $單位的概念先於$ S $整數，首先出現在Hasse和Chevalley的$ S $單位定理的背景下。我希望在MathSciNet上搜索“ S-unit”會有所幫助，但這不是因為它會返回“ Dirichlet的單位定理”之類的結果，而字面上確實包含“ s unit”一詞。
並非每個人都使用$ S $，例如魏爾的*“基本數論”（[1967]（https://doi.org/10.1007/978-3-642-61945-8_4））系統地具有$ P $。 $ S $和$ S $單位首次出現在Artin-Whaples中似乎並非不可能（[1945]（https://ams.org/mathscinet-getitem?mr=13145），第487頁）。
相關：https://math.stackexchange.com/questions/2109303
一 回答:
KCd
2018-06-30 04:40:34 UTC
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正如弗朗索瓦·齊格勒（Francois Ziegler）在其評論中所建議的那樣，符號$ S $和術語$ S $ -unit可能會回溯至Artin和Whaples在其關於產品公式的論文中：“通過用於估值的產品公式對字段進行公理化” （AMS 51（1945），469-492）。在這裡，他們為包含所有阿基米德素數的有限非空素數集寫$ S $，並在p上定義$ S $-單位。 487。

$ S $單位定理的弱形式為定理5（p。489），其完整形式為定理6（p。491），並在腳註中註明了以下內容：在Chevalley關於《數學年鑑》中的類場理論的論文中，Hasse定理和Chevalley的證明。 41（1940），394-418。 Chevalley在其中寫了$ E $而不是$ S $來表示一組有限的“包含所有無窮素數的素數”的素數，並且$ S $-單位定理在定理3之後的兩段中陳述。因為Chevalley的論文是原始出現S $-單位定理中的“ S $-單位定理”，今天不再使用符號了，看起來符號$ S $和術語“ $ S $ -unit”歸功於Artin和Whaples。

儘管$ S $單位是$ S $整數環的單位組，但由於Artin和Whaples並未提及任何此類字元，因此後來出現了$ S $整數的概念。他們論文中廣義整數的類型。從歷史上講，$ S $-單位是在其作為單位的環之前創建的，因為Chevalley對ideide也做同樣的事情：他定義了該組（1936年），並在有人定義了adeles的環之前與之合作。其中，idele是單位組。奇怪但真實。 Wikipedia上的偶數代數組頁面指出，Chevellay於1940年開始使用“ idele”一詞，而在1950年代後期“ adele”一詞成為標準詞之前，adevel被稱為重新劃分和（泰特的論文）估值載體。

非常感謝您的精彩回答。您是否認為我應該對本地化提出一個新問題，因為它顯然與$ S $-單位，$ S $-整數......無關？
（順便說一句，您知道“ adele”一詞最初出現在哪裡嗎？顯然，idele來自“ ideales Element”，正如您提到的，由Chevalley引入。我已經讀過[Wikipedia]（https：// fr。 wikipedia.org/wiki/Anneau_ad%C3%A9lique），“adele”的意思是“ addide idele”，與Bourbaki的哲學有關……）。
在MathSciNet上進行搜索（評論可追溯到1940年），阿黛爾最早以女性名字出現是在1957年，Iwasawa的評論MR0105410，他寫了“所謂的估值向量（adèles）”，而Cartier的評論是MR0094362。同樣在1957年，他根本沒有使用任何特別的術語*，他說了一口就描述了這枚戒指（見第一句話）。 1953年，Iwasawa說“評估向量”（請參閱Tate對MR0053970的評論）。維基百科上的adelic alg。網上論壇的鏈接指向1954年12月發布的http://www.numdam.org/article/SB_1954-1956__3__23_0.pdf，上面寫著adeles。那是1954年？
卡地亞（Cartier）是1955-1983年布爾巴基（Bourbaki）的成員，因此，如果他在1957年的評論中不使用“阿德爾”，那它甚至還不是法語的標準。
關於本地化，在Bourbaki的交換代數末尾的“歷史註釋”部分中說，該想法最初可以追溯到Grell（Math。Ann。97（1926），490-523，p。510，根據Chevalley的第一個腳註“理想商環的概念，” Bull。AMS 50（1944），93-97）和一般情況歸因於1948年的烏茲科夫（Uzkov）。格雷爾的論文中沒有多義詞。設置，但在Chevalley中，他寫$ \ mathfrak o_S $。烏茲科夫使用$ S $和$ R_S $，類似於Chevalley。看起來$ R_S $在$ S ^ {-1} R $之前。


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