題:
在高斯之前提出原始根的概念是如何產生的？
Jack M
2015-02-10 19:51:12 UTC
view on stackexchange narkive permalink

高斯認為歐拉（還有其他一些人）知道原始根的存在。這些高斯的前輩如何在沒有全等概念的情況下提出原始根的概念？在什麼情況下，在什麼情況下？特別是，如果您沒有全等概念，那麼原始根的概念對我來說似乎是很不自然的（我的意思是，我能想到的最短定義是“一個數字$ a $使得每剩餘一個$ r $有一個整數$ n $，因此$ a ^ n $比$ p $的倍數多$ r“”），是什麼使Euler和其他高斯以前的數學家考慮這樣的概念？

一 回答:
Conifold
2015-02-11 01:01:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

根據迪克森（Dickson）的歷史書，蘭伯特（Lambert）在1769年率先掌握了這一概念，他聲稱對於任何質數$ p $都有一個數字$ g $使得$ g ^ {p-1 } -1 $被$ p $整除，但是$ g ^ e-1 $不能被任何$ 0<e<p-1 $使用。歐拉在1773年試圖證明蘭伯特的主張時提出了“原始根”一詞，但他的證明有缺陷。他還列出了質數最大為41的素數根，但指出他沒有找到它們的一般方法。拉格朗日在1777年給出了多項式的結果，填補了空白，拉格朗日在1785年將原始根與統一根相連，概念很自然地出現。

Gauss本人部分地受到統一根的激勵，因為他想證明當僅使用平方根表示統一的原始根時，某些多邊形是可構造的。高斯僅在算術算術（Disquisitiones Arithmeticae）中完成了全等式的定義（於1798年完成，但僅於1801年出版），他給出了質數存在的兩個證明。

他從事規則多邊形的工作並不是為什麼他關心原始根mod質數。是他對*小數*的研究表明了原始根的重要性：對於除$ 2 $或$ 5 $以外的任何素數$ p $，$ 1 / p $的小數擴展的周期長度約為$ 10 \ bmod p $ ，因此此期間長度最多為$ p-1 $（實際上，它除以$ p-1 $），並且當且僅當$ 10 $是原始根mod $ p $時，它才能為$ p-1 $。這就是為什麼在高斯之前蘭伯特想知道是否總是存在一些原始根mod $ p $的原因。請參閱https://hal.archives-ouvertes.fr/halshs-00663295/document。
@KCd很好，我不知道小數。但是一個並不排除另一個。大約在同一時間（1796年），他正在研究難以解釋的多邊形，他的話涉及“在算術基礎上深入考慮所有根之間的關係”，即在全等方面。多邊形的構造與“在算術基礎上”找到原始根直接相關。 http://www.jstor.org/stable/2972265?seq=1#page_scan_tab_contents
當然，使用未標記的直尺和羅盤構造規則多邊形與統一的複雜根有關，但是我不明白為什麼*算術*（尤其是模素數）中的原始根現象與之相關。無論如何，問題是為什麼原始根模素數的概念在高斯之前出現，而研究有理數的十進制展開的周期是一種動機。
@KCd需要原始質數模以質數來形成二次方程式（從所謂的高斯週期開始），當質數形式為$ 2 ^ m + 1 $時，該方程通過嵌套的平方根表示環原子根，請參見以$為單位的高斯證明草圖在證明原始根模模中存在原始素數模數III之後，\ S $ 5的http://journals.cambridge.org/download.php?file=%2FPEM%2FPEM28%2FS0013091500034866a.pdf&code=b7498e6e326c0545892e95a86818a91cGauss給出了算術算術第VII節中的構造。 。
@KCd請考慮寫您自己的答案：看來您對此事有一些有趣的事情要說！ :)


ⓘ
該問答將自動從英語翻譯而來。原始內容可在stackexchange上找到，我們感謝它分發的cc by-sa 3.0許可。
Loading...