題:
為什麼歐幾里得避免使用第五種假設？
Behzad
2017-10-23 23:20:58 UTC
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在Euclid的元素中，可以使用平行假設來證明某些定理（例如SAA一致性），比沒有平行定律要容易得多。但是似乎歐幾里得有意避免使用它。

  1. 我是對的嗎？

  2. 背後的原因是什麼？這個選擇？

    3. ol>
可能是[為什麼幾何學家不滿意平行假設的重複？]並希望有人能證明它，因此在沒有準備的情況下盡可能地建立它。
看到非常相似的帖子[why-did-the-ancients-hate-the-parallel-postulate]（https://math.stackexchange.com/questions/802848/why-did-the-ancients-hate-the-parallel -假定）。
您如何使用Euclid的第五種假設（比Elements I 26年更容易）證明SSA的一致性？
SAA，而不是SSA！1。證明任何三角形的角度之和為180度。 2.使用1將SAA減少為ASA。 QED！
謝謝，SSA是一個錯字。因此，歐幾里得必須將SAA延遲到I，32之後-三角形中的角度之和為兩個直角。我懷疑他想在繼續進行平行四邊形和正交圖形的正交運算之前先總結出三角形的全等性。即使這樣，他也無法在Bk 1中獲得後者（偉大的I，47是一種安慰獎），而只是在Bk 2的結尾。但是您能確切地說出如何使用I，32將SAA降低為ASA ？
忽略我前面的問題；顯然，我（擁有ASA的32歲）立即證明了SAA。而且，由於Euclid的SAA證明不使用ASA，所以其中一個很容易借助I，32來證明對方。但是由於Euclid需要I，26的技術來證明兩者中的至少一個，所以它起作用了對於他倆來說同樣出色，他使他們成為一對。我可以看出他這樣做的意義。您是否看到其他更引人注目的Euclid實例顯然避免使用他的第五種假設？
從邏輯上講，避免不必要的假設會使理論更強。極端情況：使SAA成為公理；那麼它的證明是微不足道的。為了使證明更容易，只要似乎很難推理出某個步驟，就將其作為假設。至少在美國，這是在本科課程中經常這樣做的，至少在美國，這並不試圖從最少的第一原理中構建數學。相比之下，歐幾里得似乎有興趣澄清，儘管有瑕疵，但可以斷言幾何特性與其起點之間的關係。
四 答案:
user6444
2017-10-23 23:40:06 UTC
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如果他避免使用這樣的假設，那就是他本著盡可能以最少的假設證明結果的精神去做自己可能做的那樣的事情，因此以這種方式證明的結果將適用於某些公理系統與他在書中使用的公理不同，並且在某種意義上說那些替代性公理系統將包含他的一些公理，但不是全部，所以就不同，因此，如果他證明不使用並行假設就是正確的，那麼他也將證明平行假設的用法是正確的，因此他很可能本著嘗試盡可能概括的精神，並意識到其他公理系統和幾何形狀也是可能的。

有沒有證據表明歐幾里得或他那個時代的其他數學家曾經想到過任何其他公理系統？您的建議對我來說似乎很“現代”。
@Behzad哈哈，是的，它看起來很現代，但是“古代”和“現代”數學家，尤其是“大人物”，與一個人並沒有太大區別（社會的模範全球變化），所以精神幾乎是相同的，沒有理由認為歐幾里得沒有看到其他公理化方法是可能的。
如果歐幾里得和其他古代數學家想到了其他公理系統，為什麼還要花2000年的時間才能發展出非歐幾里得幾何呢？
@Quidit:超過1000年前故意和永久地摧毀了絕大多數西方古代科學文獻。因此，聲稱開發“非歐幾里得幾何體”又花了“另外2000年”的說法已經在陳述關於未知真相的歷史。 （我懷疑阿基米德會說“是的，顯然存在非歐幾里得的幾何形狀”，然後為您繪製龐加萊圓盤的圖片。）就我們所知，狄奧菲圖斯可能會把我們現在稱為費馬的猜想變成一個迷路。工作。因此，您的評論暗示的推論是虛無的。
從我的哲學課上，我的理解不是對其他公理系統的認識，而是一種普遍的看法，即第五種假設在其他方面脫穎而出，因為根本不是“明顯”正確。
CogitoErgoCogitoSum
2017-10-23 23:50:46 UTC
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由於我還沒有廣泛研究他的作品，所以我無法自信地回答。我可以想到許多可能的原因。

  1. 也許他沒有想到這種解決方案。天才與否，沒人能看到一切。

  2. 也許這個解決方案需要一個他尚未證明的定理，他認為沒有必要回頭再修改它。當您已經知道該定理時，很容易在事後偏見中進行判斷。

    • 您可能不知道，您必須在某種程度上調用的定理需要您想證明的定理，為了證明自己，按照自己的方式做循環推理。

  3. 為避免不必要的假設。正如Antoine指出的那樣，他的整個工作重點是使假設最小化。

  4. 也許他預見到，如果某個假設在以後的某個日期被證明是錯誤的，那將會破壞您的“簡單證明”。 ，而採用另一種方​​法則避免了這種可能性。
  5. 也許他對那種假設沒有最大的信心。
  6. 也許他想讓事情盡可能地籠統，以便能夠適用於一組不同的公理等。
  7. 也許他想鍛煉自己的天才，而不是走“簡單之路”。
  8. 也許他想證明這種方法/思維方式/ technique，使後來的學者受益，而不僅僅是達成解決方案。
    9. ol>
關於您的第七個原因：請參閱我對@Antoine的評論。
我的原因已明確列出。你為什麼故意含糊不清？您無法掃視找到號碼嗎？發表評論，不要從其他地方引用。我不在乎繞過互聯網找到您不願發表的評論。為什麼要打擾我呢？
也許Euclid HAD考慮了其他公理。畢竟，他創造了它們，他應該能夠認識到自己可以寫下任何東西的事實。邏輯上的自洽對於他的工作至關重要。他想捕捉他所知道的現實，這可能就是為什麼他不討論替代方案的原因。如果他想到其他公理系統，他可能會說它們是荒謬的。他本可以-也許他確實-得出他認為沒有反映現實的其他系統，並拒絕了它們。說他根本沒有想到它，對我來說，他這個天才的人似乎更荒謬。
在我看來，很自然的是，如果您要發明數學，彌補自己的公理，那麼您將走上多條道路，這些道路要么導致矛盾，要么得出*似乎*不合理的結論。您認為他應該發布這些“錯誤”嗎？
我感到驚訝和震驚，這是一個意想不到的小錯誤如何使某人感到惱火。老實說，我認為這沒什麼大不了的。
我不認為Euclid一直在“發明”數學。對我來說，這聽起來很現代-與最近幾個世紀有關。他以與相應的現實世界對象相同的意義明確地談論幾何對象。他認為“線條”不是抽象的實體，而是數學以外的每個人都想到的相同的東西。
對於我的過度反應，我深表歉意。我發現這個網站通常很煩人。我發現社區總體上是無益的，不合作的，自命不凡的，每次我來這裡時，我的警衛都會加倍努力。作為來到此數學論壇中做出貢獻的人，我可以為您帶來疑問的好處，並假設您讚賞並關注細節，關心精度，準確性等。它只是在問您為什麼會除非您根本不在乎或根本沒有資格做出貢獻，否則就犯這樣一個容易避免的錯誤。
數學一直是發明的。這是一個古老而未解決的辯論，已深入到哲學領域。發明，發現的東西都是一樣的，但卻不是。當歐幾里得談論幾何圖形，理想化的形狀，與“無窮大”相交的平行線時，您不認為他是抽象的嗎？他所設想並作證的幾何圖形是他可以可視化的幾何圖形，在現實世界中有意義的幾何圖形，而不是僅在當今更高的抽象/概括中才有意義的幻想替代圖形。
但是，我先前的論點仍然成立。他可能會想到這些替代方案，或者因公理選擇不當而被引入其中，最終無視它們是胡說八道。
他的工作只是多年探索和努力的最終產物，具有兩個屬性：邏輯自洽性和現實世界關係。他很可能會出於一個或另一個原因而無視其他任何事情。完全有理由相信，當您決定遊戲規則時，您會在某個時候意識到它的矛盾或荒謬之處，然後您會改變規則。
您可以備份任何答案嗎？目前，這僅僅是猜測。
如第一行所述。您對HDE有何看法？爭論只是為了爭論？我已經清楚地表明了您對人們的傲慢和自負的看法，在這裡您證明了我的觀點。在判斷之前，請先閱讀我寫的內容。
這是一個要求，@Cogito,不僅僅是一個問題。並且，請使用此線程的其他用戶[很好]（https://hsm.stackexchange.com/help/be-nice），包括上述一些用戶。
Edward Porcella
2017-10-24 01:38:59 UTC
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Euclid直到$ I，$ 29都沒有提出他的第五種假設。直到對並行處理（從$ I，27 $開始）的處理才需要它。三角形同餘定理的最後一個是$ I，26 $。歐幾里德有一些戲劇性的感覺：在舞台上真正需要它的那一刻，不必要地將五位假設帶到舞台上為時過早。

Raffaele
2017-10-24 00:01:52 UTC
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是的。有人稱“絕對幾何”為一組命題，這些命題無需第5 $的假設就可以證明。

恕我直言，這是因為它似乎不比其他方法明顯，至少在我們在學校學習到的版本中：“在給定一條線和一條線外的點的平面中，只有一條線

這真的很難理解，因為這意味著不可能無限產生平行線以“驗證”它不會與給定線相交。

但是，歐幾里得不使用這些詞！他非常聰明地在此

”，“假定以下內容：[...]

  1. 就是說，如果一條直線落在兩條直線上，使同一側的內角小於兩個直角，則如果無限期產生，則兩條直線在該側相交，而該一側的內角小於兩個直角。 “
    2. ol>

這很容易消化：至少在特定位置停止生產。

希望它很有用

-1：恕我直言，您的意見完全沒有價值，因為它不基於自從本書寫作後不久就收到評論家對歐幾里得的《基本元素》的廣泛批評。您無法通過推測來掌握有用的數學歷史記錄。
...因此，您只需要https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate即可獲得一些實際信息，而不是您的意見，那麼您怎麼能認為5世紀的Proclus和11世紀的Omar Khayyam是“有關“傳奇”問題的相對較新的消息來源。


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