分析和合成歷史悠久。但是，在忘記了歷史根源和哲學鬥爭之後，分析和綜合就意味著兩種不同的推理方式，形式越正式越直觀，離散和還原越全面，等等，在數學上甚至不一定。有分析性和綜合性立體主義。在神經科學中，“分析綜合理論”有時指的是左右半球的各自專業化，其“理性”和“創造性”越高。

在19世紀的數學中，康德語的用法大致有所不同：“分析”與更形式化和算術化相關，而“合成”則涉及更直觀和更具建設性的方法，尤其是在幾何學中（參見合成幾何）。當弗雷格反對數學是綜合性的時，他的意思是擺脫“非嚴格的”康德直覺，並提出需要它的構造。正是這種鬆散的康德語意味，霍金似乎想到了這一點。他跟隨克萊因本人，他從更高的角度看基礎數學：第二卷：幾何，第66-67頁哀嘆現代主義者的一面性：

“然而，在高等數學中，這些詞奇怪地具有完全不同的含義。合成幾何學是這樣研究數字的方法，而無需求助於公式，而解析幾何學始終使用這樣的公式。正確的理解是，這兩種幾何之間僅存在漸變差異，因為人們對圖形或公式的重視程度更高。

然而，在數學中，與其他地方一樣，人們傾向於組黨，因此出現了純合成派和純派派。 分析家把重點放在絕對的“方法的純度”上，因此他們比所要求的主題更單方面。因此，分析幾何學家常常在沒有任何幾何表示的盲目計算中迷失了自己。另一方面，這些合成人看到了對所有公式的人工避免，因此，除了開發自己的不同於普通公式的特殊語言公式外，他們最終無所作為。”

原始用法源自 Pappus，後者可能報告了古代晚期出現的共識概念，請參見 Hintikka和Remes的分析方法他清楚地談到了解決幾何問題的兩個互補方面：

“ 這是三個人的作品，作者Euclid元素，Perga的Apollonius和長者Aristaeus的作品，並通過分析和綜合方法進行研究。現在，分析是從尋求的東西（好像被接受）到伴隨的東西[akolouthôn]到綜合中被接受的東西的方式。因為在分析中，我們假設已經完成了這些工作，然後我們從結果中詢問，然後再詢問後者的先行條件，直到我們向後看之前已經知道並首先出現的東西。訂購。我們稱這種方法分析為反向解決方案[阿帕林溶素]。

另一方面，在合成中，我們假定分析中最後達到的是已經完成，並按照它們的自然順序排列，從而將前一個條件[proêgoumena]彼此聯繫起來，最後我們構造了所尋求的東西。這就是合成。“

但是後來的用法受到康德在分析和合成之間的區分（洛克預期）的影響，這改變了古老的含義。在分析依靠形式邏輯（康德，三段論）的推導的情況下，綜合則依靠直覺的構造。儘管如此，康德的直覺構造還是以歐幾里得的論證的綜合方面為模型，請參閱弗里德曼的《康德的幾何與空間直覺》：

“ 實際上，在康德第一次批判中對數學的討論中，歐幾里得的《元素》的證明過程是純粹直覺上的構造範例，其中包括對三角形基本歐幾里得幾何學的相當完整的介紹，例如，在先驗美學中，康德提出了三角形的相應邊求和屬性，即合在一起的兩個邊總是大於第三個邊（命題I.20），以說明幾何命題“從不從直線和三角形的通用概念中得出，而是（A25 / B39）。從這個直覺出發，實際上是[由此推導出]具有先驗確定性的先驗。（A25 / B39）從任意三角形ABC ... “開始的二進制構造和推論。

正如弗朗索瓦·齊格勒（Francois Ziegler）在其評論中指出的那樣，合成與分析的區別在這裡涉及兩種幾何方法。簡而言之，合成幾何是僅基於公理，邏輯論證和經典構造的研究，而解析幾何則允許使用坐標或微積分。 Wikipedia頁面給出了一個很好的解釋： https://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_geometry

Klein並未完全忽略分析方法，因為他寫道：在他的Erlangen程序中：

。因此，我們在本文中選擇投影幾何這兩個術語作為它們的通用名稱。儘管合成方法更多地與空間感知有關，從而為其最初的簡單發展賦予了罕見的魅力，但是空間感知的領域仍不局限於解析方法，解析幾何的公式可以看作是精確且幾何關係的清晰陳述。另一方面，精心設計的分析方法對原始研究的好處不容小,，這是因為它在思想之前先行了。但是，應該始終堅持認為，數學主題直到直觀地變得顯而易見時才被認為是精疲力盡的，借助分析所取得的進展只是第一步，儘管非常重要，但是是第一步。”（MW翻譯） Haskell；可從 https://arxiv.org/abs/0807.3161）

對此我可能是錯的，但是如今美國高中課程似乎缺少坐標幾何。在多元變量微積分和/或線性代數中講授一些元素，這些元素被認為是“高級”課程（在大學階段），因此解析幾何與合成幾何之間的區別似乎是神秘的。在1980年代波蘭的一個高中畢業時，我修了一個分析幾何（必修）課程，它的標題與之相稱，在此之前有2年的公理幾何，因此區別很明顯。

格拉丹·吉尼斯（Grattan-Guinnesses）的1800-1840年法國數學中的 卷積，從微積分和力學到數學分析和數學物理§3.2.5“分析和合成”以及它們的數學聯繫”，第第135章原理並得出結果。但是，特別是在18世紀，數學家習慣於將分析與代數聯繫起來，將合成與幾何联繫起來，儘管這些聯繫還不清楚，至少在微積分的開發和使用中尤為如此。